3 – A ASA REAL FINITA
3.1 INTRODUÇÃO
3.2 UM ARTIGO DA WILKIPEDIA: MÉTODO I
3. 3 DO SITE BRASILEIRO TAPERÁ: MÉTODO II
3.4 DO LIVRO RC MODELS AIRCRAFT DESIGN: MÉTODO III
3.5 AVALIAÇÃO DE MÉTODOS E EXEMPLOS
3.1 INTRODUÇÃO
Até esta altura lidámos apenas com o caso ideal de uma asa IDEAL, fina e sem extremos, mas não é este o caso de uma asa real, pois esta terá volume e extremos:
FIG.3.1
Ao contrário de um perfil, que tem apenas duas dimensões, a asa, tal como a usamos tem três dimensões . A passagem dos conceitos 2D Para 3D não é pacífica………
Se tivermos “bagagem matemática” e alguma paciência, a melhor maneira de calcular quer CL quer CD ( note-se que usámos a simbologia Cl e Cd para perfis, mas para asas usamos CL e CD) , a teoria mais apropriada é a da “Lifting Line”, devida ao cientista Prandt’l. O nosso programa PROASA01A usa esta teoria…………..
Claro que temos na net muitos programas dedicados ao cálculo quer de Cl para um perfil quer de CL para uma asa com determinado perfil, mas………
O objectivo dos pontos seguintes é fornecer a um eventual interessado, uma independência de quaisquer programas, através de uma matemática perfeitamente elementar.
Quais os elementos mais influenciantes na modificação de Cl e Cd tal como já os conhecemos, para CL e CD , para uma asa real? Dois, fundamentalmente: A ASA tem TAPER, tem ASPECT RATIO, ( AR) e algumas vezes TWIST.
FIG. 3.2
Note-se á esquerda que um perfil A, apresenta para um ângulo de ataque de 3º um valor de Cl= 0.53, mas, uma dada asa feita com esse mesmo perfil já apresentará nas mesmas condições um de apenas CL = 0.38.
Também as inclinações das rectas Cl-AdA e CL- AdA são diferentes:
Para Cl-AdA, ( perfil) temos : a0 = 6.21
Para CL- AdA ( asa) teremos a = 4.50
O CL de uma asa é sempre inferior ao Cl do perfil que a forma
A pendente da curva CL-AdA é sempre menor que a de Cl-AdA
È portanto necessário, colectar dados do perfil, como por exemplo Cl e a partir destes, depois de definir a asa, passar de Cl( perfil) para CL( asa). Não querendo abordar teoria “pesada “ vamos considerar algumas aproximações sugeridas por vários autores:
3.2- UM ARTIGO DA WILKIPEDIA:
MÉTODO I
Diz este que:
Sendo : CL – Coeficiente de Lift para a asa; a0 – Pendente da linha de Lift do perfil; AR- Alongamento da asa, α- ângulo de ataque em radianos. ( Note: O ângulo α será o α de ataque – o ALN, ou seja AdA-αl0 )
Como de modo geral, a0 para perfis , está muito próximo de 2π, podemos escrever :
Para CD, ( induzido)teremos :
Sendo : e o factor de eficiência da ” plataforma” ( ver adiante)
6. 3- DO SITE BRASILEIRO TAPERÁ: MÉTODO II
Asas com alto alongamento: normalmente asas com grande alongamento (AR>4),
representam uma escolha mais adequada para o projecto de aeronaves subsónicas
O coeficiente angular da curva da asa pode ser calculado a partir da equação apresentada a seguir
(Mas esta equação só é valida quando AR tende para infinito……????)
Esta equação somente é válida para asas de alto alongamento, ( AR), operando em regime subsónico incompressível, onde a e a0 representam os coeficientes angulares das curvas da asa e do perfil respectivamente. O resultado obtido é dado em rad-1. O factor e, é denominado fator de eficiência da plataforma da asa e representa um parâmetro que depende do modelo geométrico e e pela relação de afilamento e alongamento ( taper e AR) da asa. A equação apresentada a seguir permite uma estimativa do factor e com a ajuda do gráfico FIG3.4.
FIG.3.4
Façamos um exercício: Asa com envergadura de 1.6 m. 0.25m de corda de raiz e 0.15m de corda da ponta.
Area = 1.6*(0.25+0.15)/2 = 0.32 m2 ; Afilamento – t= 0.150/0.250 = 0.75 ; Alongamento ( AR) = b2/A = 1.62/0.32 = 8
Então, pelo gráfico, δ=0.04 e e= 1/(1+0.04) = 0.96 ( 96%)
No site http://courses.cit.cornell.edu/mae5070/AeroBackground.pdf encontramos uma expressão ligeiramente diferente da anterior , mas mais eficiente, para uma larga gama de valores de AR.
Asas com baixo alongamento: para asas com alongamento inferior a 4, uma relação aproximada para o cálculo do coeficiente angular da curva CL versus AdA foi obtida por Helmbold’s baseada na teoria da superfície sustentadora, sendo esta equação representada por:
Asas com “enflechamento”: Normalmente, o ângulo de enflechamento é o definido anteriormente ( cap.2)
Esta equação é válida para uma asa em flecha em regime de vôo incompressível.
(Nota: Falamos de condições de fluido incompressível, quando na realidade, como sabemos o ar é compressível?!!? Só nos aproximamos desta situação ideal se as pressões do envelope de ar á volta da asa, não forem grandes… e isso quer dizer, geralmente baixas velocidades, baixos nºs de Ry)
Em qualquer dos casos anteriores, na região linear da curva CL versus α da asa, o valor de CL pode ser calculado multiplicando-se o coeficiente angular da curva da asa – a, pela a diferença entre o ângulo de ataque e o ângulo de αL0, como mostra a Equação
3.4 – DO LIVRO RC MODELS AIRCRAFT DESIGN:
MÉTODO III- Andy Lennon
Mais uma vez trata-se de estabelecer relações entre os coeficientes do perfil e os correspondentes coeficientes para a asa que o utiliza.
Como já sabemos, do ponto 6, Fig.31, a linha CL- α para uma asa é mais inclinada do que a linha Cl - α do perfil. O autor, Andy Lennon apresenta o seguinte exemplo para perfis tipo Eppler:
FIG.3.5
Suponhamos que escolhemos um perfil para uma asa e que queremos que o valor de CL seja 0.8 o que se obterá com um ângulo de ataque de 7º. Se, com esse perfil fizermos uma asa com um AR=9, para termos o mesmo valor de CL para essa asa, então o ângulo de ataque da asa deverá ser 10º.
Andy Lennon indica, como fórmula de cálculo do ângulo total – α – a seguinte expressão:
Note-se que α0 é o ângulo de ataque menos o ângulo de Lift nulo, ou seja : AdA.- (αl0)
Sendo o valor de T tirado dos gráficos abaixo para determinado valor de AR e Cl valor tirado do perfil
Para o Drag total, ( de forma e induzido ) indica:
Sendo Cd e Cl, valores do perfil e δ um coeficiente tirado dos gráficos abaixo.
FIG.3.6
Neste gáfico, aplicável a uma asa sem Taper, ou seja rectangular, temos os factores de ajuste de Cl, na linha T e de Cd na linha δ
FIG.3.7
Este gráfico aplica-se do mesmo modo que o anterior, mas para asas afiladas, ou seja, com taper.
3.5- AVALIAÇÃO DOS MÉTODOS
Fizemos uasérie de cálculos usando como referência os programas seguintes:
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/foil3.html
http://s6.aeromech.usyd.edu.au/aero/thinaero/thinaero.pdf
PROASA 01A ( programa pessoal amador PROASA01A)
Programa QFL R5
http://s6.aeromech.usyd.edu.au/aero/liftline/liftline.php?span=1.6&rchord=0.2&tchord=0.12&wo=0&percentf=0&angle=3&a0r=6.28&alf0r=0&a0t=6.28&alf0t=0&option=Solve
Concluindo que :
1 - Os métodos conduzindo a melhores resultados são utilizando a expressão 14 acima
2- Na ausência de dados sobre o perfil poderemos usar, com maior erro sem dúvida , mas mesmo assim aceitável, a expressão 9.
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO:
EXEMPLO-1
Imaginemos um praticante de aeromodelismo tentando verificar a adequabiidade de um aeromodelo que adquiriu…. Ele não sabe qual o perfil da asa, mas há duas coisas que pode medir : O AR e o Taper. Suponhamos que, ao fazê-lo encontra os seguintes valores:
FIG.3.8
A partir daqui encontra: A ( área) = 1.4*0.16= 0.224 m2 ; Taper = 140/180 = 0.78 ; AR = 1.42/0.224 = 8.75
Por outro lado, e mantendo o eixo do aeromodelo horizontal, mede para a asa um AdA =2º
Como ele não sabe nada sobre o perfil, a melhor solução é tomar a0= 6.28. Um outro valor importante a determinar será o camber do perfil….parece difícil mas não é: por vários meios ele pode apanhar um esboço do perfil e determinar um camber, mesmo que aproximado. Consideremos que o faz e chega a um camber de 2% …. Para a maior parte dos perfis (menos “retorcidos…”), o valor absoluto do Angulo de Lift Nulo , será, em graus ,parecido com o valor do camber, ou seja , neste caso tomamos αl0= -2º.
A partir daqui podemos determinar para a asa , usando a expressão 14, a = 5.0
Então teremos , pela expressão 16 : CL=a*(AdA-αL0) = 5*(2-(-2)) = 5*4º= 5*0.07 rads = 0.35
E o Lift será, pela expressão 2 : Newtons=0.5*0.35*1.2*0.224*V2 =0.077V2
Se o modelo estiver preparado para uma velocidade de cruzeiro de 10 m/s , o Lift será : 7.7 N = 0.7 Kgf.
EXEMPLO-2 -
Vamos fazer um modelo eléctrico, tipo sport, para uma velocidade de cruzeiro de 50 Km/h, ou seja , cerca de 14 m/s e não dispomos de nenhum programa informático para ajudar…….. O motor previsto pesa 70g, a bateria 100g , a restante aparelhagem electrónica cerca de 50 g e o trem de aterragem 120g. Temos aqui um peso de :
(0.07+0.1+0.05+0.12)Kg*9.8 = 3.33 N
A estimativa do peso da fuselagem e empenagens para aviões semelhantes anda por 600 g, representando um peso adicional de 5.9 N. O peso total já colectado é de 9.23 N. Por experiência sabe-se que a asa deve representar 30% do peso total do aeromodelo, o que dará para este : 13.2 N se não ultrapassarmos estas previsões.
Vamos considerar uma asa que tenha um Lift de 14 N. Este valor vai depender:
- Da área da asa;
- da sua forma;
- do seu perfil,
- da velocidade (admitimos que o modelo vai voar em condições de PTN, logo ρar=1.2 Kg/m3)
O Lift provocado pela asa é dado por : L=1/2*r*Cl*A*V2 e considerando os dados já assumidos podemos escrever:
14 = ½*1.2*CL*A*142 → CL*A = 0.12
Para continuarmos temos duas incógnitas: O CL e o A ( área da asa). Vamos escolher um perfil NACA 3410. As características deste perfil serão : a0= 6.3 ; αl0=-3º ; Clα0=0.34
Para a asa escolhemos o seguinte modelo:
FIG.3.9
A área vai depender de dimensões (?) ainda não estabelecidas, mas há parâmetros que podemos estabelecer: o Taper e o AR. Vamos tomá-los como T=0.8 e ao AR vamos fazê-lo AR=8.
Se considerarmos para a asa uma área de A= 20 dm2, então, por CL*A = 0.12, concluímos que a asa deverá ter um CL=0.12/0.2 →CL = 0.6
Vamos usar o Método de aproximação II
Para a asa teremos pelo método II, expressão 14, a = 4.9
Então CL= a*(AdA-αl0) →0.6 = 4.9*(AdA-(-3º)) →0.6 =4.9* ((AdA-(-0.052)) →0.6 = 4.9AdA + 0.5 →AdA = (0.6- 0.255)/4.9 = 0.07 rad
Portanto o nosso ângulo de ataque deverá ser : 0.07rad= 0.07/3.1416*180=4.01º=4º
Conclusão:
Asa ; Área = 0.20 m2, Taper=0.8 , AR=8
AR=b2/A….. →…….. = (A*AR)1/2= 1.26 m
A= (R+0.8*R)/2*b……→……. 0.2= 0.8R*1.26….. →…….R=(0.2/1.26)/0.8 =0.198 m e T = 0.8*R = 0.158m
Para confirmarmos a “qualidade destas aproximações, vamos usar estes dados com o programa :
http://s6.aeromech.usyd.edu.au/aero/liftline/liftline.php?span=1.6&rchord=0.2&tchord=0.12&wo=0&percentf=0&angle=3&a0r=6.28&alf0r=0&a0t=6.28&alf0t=0&option=Solve
Com R = 198 mm, E=158 mm , b=1260 mm e a0= 6.3, o programa dá-nos, para um AdA=4º, um CL= 0.58 contra os 0.6 previstos no cálculo. (Usando o programa R5 obtemos para este perfil, á velocidade de 14 m/s em condições de PTN e Ry=170000, um valor de a0 = 6.39, próximo do usado e não faremos qualquer correcção)
